Cao Yi
九宮格（河图洛书）
2024.02.11 农历正月初二
按：这里谈到的九宫格不是数独。很多资料认为本文所述的九宫格叫「河圖洛書」，有兴趣了解周边故事的话，可以点开前面的链接看看。
一个正方形被划分为三行三列，共九个小正方形。在这九个小正方形中各填入一个数字。
（后续为方便打字，用3X3矩阵表示九宫格）
\[\begin{bmatrix} A & B & C \\ D & E & F \\ G & H & I \end{bmatrix}\]这些数字满足：各行各列的数字和相等，并等于对角线上的数字和。
- 横行和：A + B + C = D + E + F = G + H + I
- 纵列和：A + D + G = B + E + H = C + F + I
- 斜向和：A + E + I = C + E + G
- 横向和 = 纵列和 = 斜向和
最简单的一个九宫格就是在九个格子中分别填上1~9的九个数字，数字的数量关系满足上面所述：
\[\begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{bmatrix}\]对它转置和交换不相邻两行（列），新矩阵还是能满足九宫格游戏的条件，即：
\[\begin{bmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 9 \\ 6 & 7 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6 & 7 & 2 \\ 1 & 5 & 9 \\ 8 & 3 & 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{bmatrix}, ...\]这些性质是显而易见的。
中间数字
观察
\[\begin{bmatrix} 6 & 7 & 2 \\ 1 & 5 & 9 \\ 8 & 3 & 4 \end{bmatrix}\]从直觉上大概能感知到矩阵当中的数字应该「不大不小」，实际上从前面的例子可以看出，所有满足条件的矩阵的中间的元素都是5，而5就是1~9的中位数。
这个直觉能推广到一般情况下吗？下面我们来探索一下。
继续使用前面提到的矩阵：
\[\begin{bmatrix} A & B & C \\ D & E & F \\ G & H & I \end{bmatrix}\]假设它的每行每列或对角线的和是常数 $s$，即
\[s = A + B + C\]我们从尽可能减少未知变量的目的去改写矩阵试试。因为我们假设了 $s$，所以每行每列或对角线只要有两个元素，另外一个可以推算出来。按这个思路，我们减少一些元素，修改矩阵为：
\[\begin{bmatrix} A & B & C \\ & E & \\ & & \end{bmatrix}\]空位的所在的横行或纵列或对角线总能找到两个元素，空位的值可以由 $s$ 和它所在行/列/对角线上的另两个元素 $x, y$ 表达：$s - x - y$，即
\[\begin{bmatrix} A & B & C \\ & E & \\ s - C - E & & s - A - E \end{bmatrix}\]此时，第三行第二列的元素$H$可以通过行或列两种方式来计算
- 按横行：$H = s - G - I = s - (s - C - E) - (s - A - E) = A + C + 2E - s$
- 按纵列：$H = s - B - E$
两种方式计算出来的值都是H，所以它们应该相等，即：
$A + C + 2E - s = s - B - E$
整理得 $A + B + C + 3E = 2s$
又因为 $A + B + C = s$
所以 $3E = s$
即中间格 $E$ 的值是 $s$ 的三分之一。
假设所有格子的数字和为S，则 $S = 3s = 9E$，即 $E$ 在数字上等于所有格子的平均数。
后记
今天下午 Charles 说有道题目很有意思，是关于九宫格的，我在解答过程中，使用上面提到的「直觉」，虽然题目解出来了，但总觉得不稳当—— $3E = s$ 还没证明，所以特地探索了一番，推演出来之后，就放心了。
要证明 $3E = s$ 的主要思路是通过两种方式表达同一个格子的值，建立方程，正文内容是用 $H$ 格子，不过用其他格子也可以的，我最初演草时用的是 $F$ 格子。