伯努利不等式是一个非常著名的不等式，在证明 $e$ 的收敛性中也有用到。
如果 $x$ 是不小于 -1 的实数，$n$ 是任意非负整数，则 $(1+x)^n ≥ 1+nx$.
也可以用符号的方式表述如下：
\[\forall x \ge -1,\; \forall n \in \mathbb{N}_0,\quad (1+x)^n \ge 1+nx\]
对不等式左边用二项式定理展开
\[(1+x)^n = 1 + nx + \binom{n}{2}x^2 + \cdots\]如果此时 $x \geq 0$，则不等式显然成立，但是，伯努利公式的条件是 $x \geq -1$，真不知伯努利是怎么想到的，真是个天才。
这个不等式可以采用数学归纳法证明，以下是证明过程。
奠基步骤
先考察 $n=0$ 或 $n=1$ 的情况，此时不等式显然成立。
| $(1+x)^n$ | $1+nx$ | 不等式成立 | |
|---|---|---|---|
| $n=0$ | 1 | 1 | Yes |
| $n=1$ | $1+x$ | $1+x$ | Yes |
归纳假设
假设不等式在 $n = k, k>1$ 时也成立，即：
\[(1+x)^k ≥ 1+kx, \quad k>1\]归纳步骤
考虑 $n=k+1$，由于 $x \geq -1$，有 $1+x \geq 0$，故
\[\begin{aligned} (1+x)^{k+1} &= (1+x)(1+x)^k \\ &\geq (1+x)(1+kx) \\ &= 1 + (k+1)x + kx^2 \\ &\geq 1 + (k+1)x \\ \end{aligned}\]因此不等式对 $n=k+1$ 也成立。
结论
由数学归纳法，不等式对所有非负整数 $n$ 成立。
伯努利不等式的指数还可以扩展到实数范围：
\[\begin{aligned} x \gt -1, r \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) &\implies (1+x)^r \geq 1+rx \\ x \gt -1, r \in [0, 1] &\implies (1+x)^r \leq 1+rx \\ \end{aligned}\]注意：当指数扩展到实数时，为保证 $(1+x)^r$ 的实数意义，需要要求 $x \gt -1$
证明留待将来再写。
参考：维基百科·伯努利不等式