本文仅限于一元函数的情况。
如果函数在某个点的左极限和右极限都相等，并且函数在这个点有定义，则函数在这个点连续。如果一个函数在某个区间的所有点都连续，则称这个函数在这个区间上连续。对于有限开区间的函数，不用考虑边界点的连续性，因为函数在那里没定义。对于有限闭区间的函数，对于边界点，只要单侧极限等于边界点上的函数值则函数在边界点上连续。
现在是2026年01月01日，下面这些内容是两年前（2023年05月23日）问 ChatGPT 得到的，它说的很有道理，我仍然收录如下，但补上自己的点评。
AI 是很好的帮手，但不能尽信，必须检验。
（点评：这个解释我个人感觉比较完美，不过它重点是函数在某点的连续性，没有提到函数在某个区间的连续性。它还提到了复合函数的连续性。）
函数连续是一个重要的数学概念，指的是函数在一定范围内没有突变、断层或跳跃的现象，它在数学分析、微积分、数学物理等领域中都有广泛的应用。
具体来说，如果函数$f(x)$在某个点$x_0$处连续，就意味着当自变量$x$趋近于$x_0$时，函数值$f(x)$也会趋近于$f(x_0)$。可以用数学语言表述为：对于任意给定的正数$ε$，存在一个正数$δ$，使得对于任何满足$\vert x-x_0 \vert <δ$的x，都有$\vert f(x)-f(x_0) \vert <ε$成立。
也就是说，如果一个函数在$x_0$处连续，那么当自变量在$x_0$附近微小变化时，函数值也会随之微小变化，没有跳跃或突变的情况。
通俗地讲，可以将函数连续理解为一种“平滑”的状态，它在图像上不会出现断层或者空洞，可以形成一条连续的曲线。在实际应用中，函数的连续性是很重要的，因为它能够保证我们的计算结果是可靠和准确的。
需要注意的是，函数的连续性具有传递性和局部性。具体来说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处连续，而$g(x)$在$f(x_0)$处连续，则复合函数$g(f(x))$在$x_0$处连续。另外，连续性是局部性质，即只需要考虑函数在某一点周围的连续性，而不需要考虑整个定义域上的连续性。
（点评：这个回答表述错误，判断函数在某点是否连续，需要判断函数在此点的左右极限是否相等，而不是函数值是否相等，函数在某点的函数值只有一个，当然相等了，和连续不连续都没关系。我已经删掉了它的错误表述，不过它的判断步骤写的基本上是对的，虽然很啰嗦，虽然也没有考虑边界情况。）
要判断一个函数在某点是否连续，需要检查该点左右两侧的函数值是否存在极大差异。如果左右两侧的函数值非常接近或者相等，那么函数在该点就是连续的；如果左右两侧的函数值存在较大差异，那么函数在该点就是不连续的。
具体的判断步骤如下：
通过以上步骤可以判断函数在某点是否连续。