连续函数 Continuous Function
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本文仅限于一元函数的情况。
已知函数 $f$ 和点 $x_0$，如果
- $f$ 在 $x_0$ 有定义
- $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ （左极限和右极限都存在，且相等，并等于该点的函数值）
则函数在这个点连续。如果函数在该点无定义，则函数自然不连续。
如果一个函数在某个区间的所有定义点都连续，则称函数在该区间上连续。
- 对于开区间 $(𝑎,𝑏)$，只需在内部点讨论连续性。
- 对于闭区间 $[a,b]$，还需满足：
\[\begin{aligned}
\lim_{x \to a^+} &= f(a) \\
\lim_{x \to b^-} &= f(b)
\end{aligned}\]