极值定理指的是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在这个区间内必然存在至少一个最大值和一个最小值。这两个值一般称为函数的极值。
极值定理告诉我们，如果我们想要找到一个函数在一个区间内的最大值和最小值，我们只需要在这个区间内找到该函数的所有临界点（即导数为零或不存在的点）和端点处的函数值，然后比较它们的大小即可。
需要注意的是，极值点不一定都是临界点，也可能出现在端点处。此外，极值点不一定是唯一的，可能会有多个极值点。
极值定理在实际中有着广泛的应用，例如在优化问题中，我们常常需要找到函数的最大值或最小值，而极值定理为我们提供了一个有效的方法来解决这类问题。
按：第一句话有问题，极值定理就是最大值最小值存在定理。
为了证明极值定理，我们需要使用到两个重要的定理，分别是：最大值最小值存在定理和费马定理。
最大值最小值存在定理：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在这个区间内必然存在至少一个最大值和一个最小值。
费马定理：如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得了极值，且$f(x)$在$x_0$处可导，则$f’(x_0)=0$。
接下来，我们来证明极值定理。
证明：
（1）因为$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，所以$f(x)$在$[a,b]$上是有界的。
（2）假设$f(x)$在$[a,b]$上没有极值，那么$f(x)$要么单调上升，要么单调下降。
（3）不妨设$f(x)$在$[a,b]$上单调上升，那么$f(a)$是$f(x)$在$[a,b]$上的最小值。
（4）因为$f(x)$在$[a,b]$上单调上升，所以$f(x)$在$[a,b]$上是严格单调的。
（5）因为$f(x)$在$[a,b]$上严格单调，所以$f(x)$在$[a,b]$上处处可导。
（6）由于$f(x)$在$[a,b]$上处处可导，所以$f(x)$在$[a,b]$上的导函数$f’(x)$存在。
（7）由于$f(x)$在$[a,b]$上单调上升，所以$f’(x)>0$，即$f’(x)$在$[a,b]$上是严格正的。
（8）由于$f’(x)>0$，所以$f(x)$在$[a,b]$上是严格上升的，与$f(a)$是$f(x)$在$[a,b]$上的最小值矛盾。
（9）所以$f(x)$在$[a,b]$上必然有极值。
（10）如果$f(x)$在$[a,b]$上有多个极值，那么这些极值中必然存在最大值和最小值。
（11）如果$f(x)$在$[a,b]$上只有一个极值，那么这个极值既可以是最大值，也可以是最小值。
（12）综上所述，极值定理成立。
结束证明。
证明过程中，我们首先利用最大值最小值存在定理证明了$f(x)$在$[a,b]$上必然有极值，然后再利用费马定理证明了极值点必然是临界点或端点。最后，我们还证明了如果$f(x)$在$[a,b]$上有多个极值，那么其中必然存在最大值和最小值的情况。
最大值最小值存在定理是微积分中的一个重要定理。它指出在特定条件下，一个函数在闭区间上一定存在最大值和最小值。具体来说，如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该区间上一定存在最大值和最小值。
这个定理在微积分中是非常常用的，因为它保证了函数在一定范围内存在极值，我们可以通过求解导数为零的点来找到函数的最大值和最小值。最大值最小值存在定理也是很多极值问题的基础，例如求解最大化利润，最小化成本等问题都需要用到这个定理。
最大值最小值存在定理对于理解微积分的概念和应用具有重要意义，它是微积分中最基础的定理之一。
最大值最小值存在定理是微积分中的一个重要定理，它表明了在特定条件下，一个函数在闭区间上一定存在最大值和最小值。下面我们来证明这个定理。
证明：
设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，为了证明$f(x)$在$[a,b]$上必然存在最大值和最小值，我们分别证明$f(x)$在该区间上具有上确界和下确界。
（1）证明$f(x)$在$[a,b]$上具有上确界：
假设$f(x)$在$[a,b]$上没有上确界，则对于任意的实数$M$，总存在$x\in[a,b]$，使得$f(x)>M$。由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，因此可以选择一个数列${x_n}$，使得$x_n\in[a,b]$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=x_0$。由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，因此有$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(x_0)$。由于对于任意的$n$，都有$f(x_n)>M$，因此有$f(x_0)\geq M$。又因为$M$是任意的，因此$f(x_0)$不存在上界。这与$f(x)$在$[a,b]$上连续矛盾，故$f(x)$在$[a,b]$上必然具有上确界。
（2）证明$f(x)$在$[a,b]$上具有下确界：
假设$f(x)$在$[a,b]$上没有下确界，则对于任意的实数$M$，总存在$x\in[a,b]$，使得$f(x)<M$。由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，因此可以选择一个数列${x_n}$，使得$x_n\in[a,b]$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=x_0$。由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，因此有$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(x_0)$。由于对于任意的$n$，都有$f(x_n)<M$，因此有$f(x_0)\leq M$。又因为$M$是任意的，因此$f(x_0)$不存在下界。这与$f(x)$在$[a,b]$上连续矛盾，故$f(x)$在$[a,b]$上必然具有下确界。
综上所述，函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，必然具有上确界和下确界，即$f(x)$在该区间上必然存在最大值和最小值。
结束证明。
因此，证明了最大值最小值存在定理。