拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由意大利数学家拉格朗日在18世纪提出的。该定理可以用于证明一些函数的性质，也可以用于计算函数的近似值。
设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则存在一个点$c\in(a,b)$，使得：
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f’(c)$
这个点$c$称为$f(x)$在$[a,b]$上的一个内点。该定理的意义在于，它告诉我们，如果函数$f(x)$在$[a,b]$上连续且在$(a,b)$内可导，那么在$[a,b]$上必然存在一个内点$c$，使得函数$f(x)$在$[a,b]$上的平均变化率等于它在内点$c$处的瞬时变化率。
拉格朗日中值定理的一个重要应用是求函数的近似值。例如，如果我们要求函数$f(x)=\cos x$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的平均值，可以使用拉格朗日中值定理。由于$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$内可导，因此可以找到一个$c\in(0,\frac{\pi}{2})$，使得：
$\frac{f(\frac{\pi}{2})-f(0)}{\frac{\pi}{2}-0}=f’(c)=-\sin c$
因此，函数$f(x)=\cos x$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的平均值为：
$\frac{1}{\frac{\pi}{2}-0}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\mathrm{d}x=\cos c\approx0.924$
这个值与实际值$\frac{2}{\pi}\approx0.637$相差较大，但使用拉格朗日中值定理求出的结果可以作为近似值使用，尤其是在无法求出精确值的情况下。
拉格朗日中值定理可以通过利用罗尔定理来证明。
设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。令$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。则$g(x)$满足以下条件：
根据罗尔定理，存在一个点$c\in(a,b)$，使得$g’(c)=0$。由于：
$g’(x)=f’(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
因此，
$g’(c)=f’(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
即：
$f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
这就是拉格朗日中值定理。证毕。