假设 $a \in \mathbb{R}, M \in \mathbb{R}, N \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{R}, a > 0, a \neq 1, M > 0, N > 0$, 以下三个等式恒成立：
【证明一】：
假设 $\log_{a}{M} = p, \log_{a}{N} = q$
则 $M = a^p, N = a^q$
所以 $MN = a^p a^q = a^{p+q}$
所以 $p+q = \log_{a}{(MN)}$
即 $\log_{a}{M} + \log_{a}{N} = \log_{a}{(MN)}$
【证明二】：
$\log_{a}{(MN) = \log_{a}{a^pa^q}} = log_{a}{a^{p+q}} = p+q = \log_{a}{M} + \log_{a}{N}$
假设 $\log_{a}{M} = p$
则 $M=a^p$
所以 $M^n = {(a^p)}^{n} = a^{np}$
所以 $\log_{a}{M^n} = \log_{a}{a^{np}} = np = n\log_{a}{M}$
性质三并不是独立的，它可以由性质一和性质二直接推出。
根据性质一，有 $\log_{a}{\dfrac{M}{N}} = \log_{a}{MN^{-1}} = \log_{a}{M} + \log_{a}{N^{-1}}$
再根据性质二，有 $\log_{a}{N^{-1}} = -\log_{a}{N}$
所以 $\log_{a}{\dfrac{M}{N}} = \log_{a}{M} - \log_{a}{N}$
这三个对数运算性质，分别对应以下指数运算规律：
从这个角度看，对数的运算性质本质上是指数运算规律的“翻译”。
本文中提到的几个对数的运算性质非常基础，甚至可以通过它对应的指数形式很直观地得到它的这些形式，但证明还是有必要的。直觉让人能熟练使用这些性质，但证明能让使用更加可靠。