ChatGPT 的回答质量从2023到2025突飞猛进。我在2026.01.03问了同样的问题，回答让我相当满意。以下附上两次问答的具体内容。
问：函数“光滑”如何定义？
按：问答链接在此。
这是个非常好的问题，而且你问的是 “函数光滑”到底是什么意思，而不是“大家口头上怎么用这个词”。我直接把严格定义、常见层级、直观理解、以及容易混淆的点一次讲清楚。
在数学里，“光滑”几乎是一个术语，不是形容词。
定义：
一个函数 $f$ 在某个区间（或流形）上是光滑的（smooth），
通常指它是 $C^\infty$ 的，即
在该区域内具有任意阶连续导数。
记号是： \(f \in C^\infty\)
也就是说：
这是很多人容易混的地方。
\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)
图像没有“断裂”，但可以有尖角。
\(f'(x_0) \text{ 存在}\)
但导数可能不连续。
\(f' \text{ 存在且连续}\)
\(f^{(k)} \text{ 存在且连续}\)
\(f \in C^\infty\)
⚠️ 默认语境下：
不加说明地说“函数是光滑的” = $C^\infty$
这些函数：
\(f(x) = |x|\)
\(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}\)
存在函数：
这说明：
光滑 ≠ 解析
这是一个关键认知点。
| 概念 | 含义 |
|---|---|
| 光滑（smooth） | $C^\infty$，无限次连续可导 |
| 解析（analytic） | 等于其泰勒展开 |
关系是： \(\text{解析} \;\Rightarrow\; \text{光滑} \;\not\Rightarrow\; \text{解析}\)
在应用和直觉层面，“光滑”意味着：
但⚠️ 这些直觉在数学上最终都落到“高阶导数连续”上。
在微分几何中：
一个函数 $f : M \to \mathbb{R}$ 是光滑的
⇔ 在任何局部坐标中，$f$ 的表达是 $C^\infty$
这保证了：
数学里说“函数光滑”，默认就是：它在研究区域内是 $C^\infty$ 的。
按：这个解释在两年多以后看起来就非常简陋了。
函数的“光滑”通常是指函数具有足够多的连续可导性质，使得函数的图像在局部上看起来是平滑的，没有明显的折线或拐点。
具体而言，一个函数$f(x)$在区间$I$上被称为k阶可导，如果它的前k阶导数$f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), \cdots, f^{(k)}(x)$在区间$I$内都存在。如果$f(x)$在区间$I$内k阶导数存在且连续，那么$f(x)$就是k阶连续可导的。如果$f(x)$在区间$I$内具有任意阶导数，且这些导数都存在且连续，那么$f(x)$就是光滑的。
一般来说，二阶可导的函数已经具有很好的平滑性质，而高阶可导的函数则更加光滑。在实际应用中，光滑函数往往具有更好的数学性质和物理意义，因此也更加重要。