如果一个数列，从第二项起每项对它的前项的比是一样的，这个数列就是等比数列。假设有一个数列
$a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n$ 满足 $\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} = \cdots =\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$
则它为等比数列。不妨设
$q = \dfrac{a_2}{a_1}$
$q$ 一般称为这个等比数列的公比。
如此数列也可以表示为
$a_1, a_1q, a_1q^2, …, a_{1}q^{n-2}, a_{1}q^{n-1}$
数列的和可以直接表示为：
$S_n = a_{1}(1+q+q^2+\cdots+q^{n-2}+q^{n-1})$ – (1)
两边同时乘以公比 $q$ 得
$qS_n = a_{1}(q+q^2+\cdots+q^{n-2}+q^{n-1}+q^{n})$ – (2)
上面两式相减，(1) - (2)，得
$(1-q)S_n = a_{1}(1-q^{n})$
所以，当 $q \neq 1$ 时
$S_n = a_{1}\dfrac{1-q^{n}}{1-q}$
而当 $q = 1$ 时
$S_n = na_{1}$
以上最后两个式子就是等比数列的求和公式。