泰勒公式又称为泰勒展开式，是一种将一个函数在某个点附近用无限多个幂级数展开的方法。
泰勒公式的一般形式为：
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$
其中，$f(x)$是需要展开的函数，在点$a$处展开；$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数；$n!$是$n$的阶乘。
泰勒公式是用一条曲线去拟合一个函数，使得在某个点附近，该函数可以被这条曲线无限接近地表示。这条曲线就是$f(x)$在点$a$处展开的$n$次泰勒多项式。
泰勒公式的重要性在于它可以用来计算一些难以求解的函数。
泰勒公式的证明可以通过数学归纳法来完成。下面我们假设函数$f(x)$在$a$点处具有$n$阶导数，并且$f(x)$在点$a$处的泰勒多项式为：
$T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}$
我们需要证明泰勒公式成立：
$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$
其中，$R_n(x)$为余项，即$f(x)$与$T_n(x)$之差。
当$n=0$时，由于$f(x)$在$a$处可导，因此有：
$f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+R_{0}(x)$
其中，$R_0(x)$为余项，由拉格朗日中值定理可得：
$R_{0}(x)=\dfrac{f’’(\xi)}{2!}(x-a)^2$
其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个数。
当$n=1$时，由于$f(x)$在$a$处具有一阶导数，因此有：
$f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\dfrac{f’‘(a)}{2!}(x-a)^2+R_{1}(x)$
其中，$R_1(x)$为余项，由拉格朗日中值定理可得：
$R_1(x)=\dfrac{f’’’(\xi)}{3!}(x-a)^3$
当$n=2$时，由于$f(x)$在$a$处具有二阶导数，因此有：
$f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\dfrac{f’‘(a)}{2!}(x-a)^2+\dfrac{f’’‘(a)}{3!}(x-a)^3+R_{2}(x)$
其中，$R_2(x)$为余项，由拉格朗日中值定理可得：
$R_{2}(x)=\dfrac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-a)^4$
依次类推，当$n$为任意正整数时，泰勒公式可表示为：
$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_{n}(x)$
其中，余项$R_n(x)$可表示为：
$R_{n}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
证毕。
余项是指在使用泰勒公式进行函数展开时，展开式和原函数之间的差值。余项的大小取决于展开式中使用的泰勒级数的阶数，以及展开点与所求点之间的距离。当使用泰勒级数展开时，余项通常用于估计所得近似值的误差范围。