本文不区分公理和公设。公理是推理的最初依据，无论我们相信不相信它，都在技术上把它作为真的，并据此展开推理。
初中生一开始学习平面几何时，会遇到一些疑惑。比如判定两直线平行，可以用多种条件去判断：
在人教版教材中，“同位角相等”的判定规则是公理，其余都是它的推论。但是，其实上述五种判定规则，是可以相互推导的。凭什么1是公理，其他不是呢？
欧几里得基本公理（公设）里有：
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。(Ref)
这一条一般称为平行公理（公设）(Ref)和“同旁外角互补”接近。
再举一个例子。
判定三角形全等，有如下方法：
以上三个，只要一个成立，另外都成立。
在人教版教材中，1和2被成为“基本事实”，其实也就是变相地作为公理来用。
在希尔伯特公理提到
若在三角形 ABC 与 A’B’C’ 中有 AB ≅ A’B’、AC ≅ A’C’、∠BAC ≅ ∠B’A’C’，那么可以得到 ∠ABC ≅ ∠A’B’C’（替换字母即可知 ∠ACB ≅ ∠A’C’B’ 亦成立）。
这一条和SAS比较相关。
可见在不同的理论体系里，认可的公理是有差异的。人教版教材设定的公理，是为了方便教学，而欧几里得和希尔伯特更多考虑理论的逻辑自洽和简单。不过，它们都是相容的。
在《给讨厌数学的人》中提到
数学公理并不是绝对真理，只是假设。
对的，数学大厦是建立在一些基本假设之上。既然是假设，就可能有不同的假设，正如前面对公理选择的不一样。
其他参考