Cao Yi

圆周角和圆心角

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这是初中平面几何里的基础内容，最近Charles聊到相关的问题，记录一下。

1. 圆心角 Radius Angle

顶点在圆心，两边和圆周相交的角。

如上图, $\mathrm{\angle }AOB$是圆O的一个圆心角，对应的弧是$\stackrel{⌢}{AB}$.

圆心角可以用对应的单位圆的弧长来表示，单位圆的圆周是$2\pi$，所以用弧长度量角的大小时，设置360${}^{\circ }=2\pi$ rad(弧度)，弧长为半径的弧对应圆心角为1.

弧长相等的弧所对的圆心角是相等的，这也是用单位圆弧长来度量角的原因。

2. 圆周角 Angle of Circumference

顶点在圆周，两边和圆周相交的角。

如上图$\mathrm{\angle }EFD$和$\mathrm{\angle }EGD$都是$\stackrel{⌢}{ED}$所对的圆周角。$\mathrm{\angle }FEG$和$\mathrm{\angle }FDG$也是圆周角。

一条弧有可以对应无数圆周角，它们都相等吗？且看下面的内容。

3. 圆心角和圆周角的一些性质

如上图，$\stackrel{⌢}{HL}$所对的圆心角和圆周角分别是$\mathrm{\angle }HOL$和$\mathrm{\angle }HJK$.

$\mathrm{△}HOJ$和$\mathrm{△}LOJ$是两个以半径为腰的等腰三角形

$\therefore \mathrm{\angle }OHJ=\mathrm{\angle }OJH$, $\mathrm{\angle }OLJ=\mathrm{\angle }OJL$

$\therefore \mathrm{\angle }HOL=\mathrm{\angle }HOK+\mathrm{\angle }KOL=2\mathrm{\angle }OJH+2\mathrm{\angle }OJL=2(\mathrm{\angle }OJH+\mathrm{\angle }OJL)=2\mathrm{\angle }HJL$

在上图中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。再考察另外两种情形：

顺时针转动L，使K和L重合：

继续顺时针转动L，使K和L在JK的同一侧：

很容易看出，同弧所对的圆心角还是圆周角的两倍。

同一段弧，对应无数圆周角，和同一个圆心角，这些圆周角都等于圆心角的一半，所以同弧所对的圆周角都相等。

直径对应的圆周是半圆，对应的圆心角是$\pi$，所以直径所对的圆周角是${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，即直径所对的圆周角是直角。

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