自然常数来源于复利问题，假如本金为$a$, 年利率为$r$, 则一年后连本带利
\[amount = a(1+r)\]假如存款人和银行修改约定为一年结算2次，即半年结算一次，利息也减半为$\dfrac{r}{2}$，则一年后连本带利
\[amount = a\left(1+\dfrac{r}{2}\right)^2\]更进一步，假如存款人和银行修改约定为一年结算$n$次，即$\dfrac{1}{n}$年结算一次，利息也减少为$\dfrac{r}{n}$，则一年后连本带利
\[amount = a\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n\]是不是$n$越大，最后得到的金额$amount$也越大呢？我们可以通过求$amount$的极限来验证
\[\begin{aligned} amount &= \lim_{n\to\infty} a\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n \\ &= a\lim_{n\to\infty} \left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{n}{r}} \right)^{ \tfrac{n}{r}r } \\ &= a\left[ \lim_{\tfrac{n}{r} \to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{\dfrac{n}{r}} \right)^{\tfrac{n}{r}} \right]^r \\ &= a\left[ \lim_{n\to\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} \right]^r \end{aligned}\]上式中$a$和$r$都是常数，我们只要计算$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$的极限值就行：
\[\lim_{n\to\infty} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n}\]参下表，当$n$值在不断增加时，$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$越来越稳定，趋近于$2.7182820\ldots$，这就是我们要得到的极限值，一般用$e$来表示，近似于2.718
| $n$ | $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 10 | 2.59374246 |
| 100 | 2.704813829 |
| 1000 | 2.716923932 |
| 10000 | 2.718145927 |
| 100000 | 2.718268237 |
| 1000000 | 2.718280469 |
| 10000000 | 2.718281694 |
| 100000000 | 2.718281798 |
| 1000000000 | 2.718282052 |
| 10000000000 | 2.718282053 |
所以，回到前面提到的问题，假如本金为$a$, 年利率为$r$，则一年后连本带利最多可以得到的金额是
\[amount = a \cdot e^r\]函数单调且有上界，则这个函数是收敛的。
先证函数 $f(x) = \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$ 是递增的，比较 $f(n)$ 和 $f(n+1)$ 的大小即可。
\[\begin{aligned} f(n) &= \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \\ &= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\dfrac{1}{n^k} \\ &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n} \right) + + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n} \right)\left(1-\dfrac{2}{n} \right) + \cdots \\ f(n+1) &= \left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ &= \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\dfrac{1}{(n+1)^k} \\ &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n+1} \right) + + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n+1} \right)\left(1-\dfrac{2}{n+1} \right) + \cdots \end{aligned}\]对 $f(n)$ 和 $f(n+1)$ 的展开式逐项比较，可知 $f(n) < f(n+1)$.
再证明 $f(x)$ 有上界：
\[\begin{align} f(n) &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n} \right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n} \right)\left(1-\dfrac{2}{n} \right) + \cdots \\ &< 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots \\ &< 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots \\ &= 3 \end{align}\]以上(2)到(3)的比较中用到了 $k!=1⋅2⋅3⋯k≥1⋅2⋅2⋯2=2^{k−1}$ 这个不等式。
这里至少说明3是它的上界，虽然离2.7有点远，但确实是个上界。这个证明不算多严谨，不过比较形象好懂。