自然常数来源于复利问题，假如本金为$a$, 年利率为$r$, 则一年后连本带利
\[amount = a(1+r)\]假如存款人和银行修改约定为一年结算2次，即半年结算一次，利息也减半为$\dfrac{r}{2}$，则一年后连本带利
\[amount = a\left(1+\dfrac{r}{2}\right)^2\]更进一步，假如存款人和银行修改约定为一年结算$n$次，即$\dfrac{1}{n}$年结算一次，利息也减少为$\dfrac{r}{n}$，则一年后连本带利
\[amount = a\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n\]是不是$n$越大，最后得到的金额$amount$也越大呢？我们可以通过求$amount$的极限来验证
\[amount = \lim_{n\to\infty} a\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n = a\lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{n}{r}}\right)^{\tfrac{n}{r}r} = a\left[\lim_{\tfrac{n}{r}\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{n}{r}}\right)^{\tfrac{n}{r}}\right]^r = a\left[\lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^r\]上式中$a$和$r$都是常数，我们只要计算$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$的极限值就行：
\[\lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\]参下表，当$n$值在不断增加时，$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$越来越稳定，趋近于$2.7182820\ldots$，这就是我们要得到的极限值，一般用$e$来表示，近似于2.718
| $n$ | $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 10 | 2.59374246 |
| 100 | 2.704813829 |
| 1000 | 2.716923932 |
| 10000 | 2.718145927 |
| 100000 | 2.718268237 |
| 1000000 | 2.718280469 |
| 10000000 | 2.718281694 |
| 100000000 | 2.718281798 |
| 1000000000 | 2.718282052 |
| 10000000000 | 2.718282053 |
所以，回到前面提到的问题，假如本金为$a$, 年利率为$r$，则一年后连本带利最多可以得到的金额是
\[amount = a \cdot e^r\]