费马引理（Fermat’s theorem on stationary points / Interior extremum theorem）是微积分中的一个基本结论：
如果函数 $f$ 在点$x_0$的某邻域内有定义，并且在 $x_0$ 处取得局部极值，且在该点可导，则 $f’(x_0)=0$。
需要注意的是，费马定理并不保证导数为零的点一定是极值点，也就是说，导数为零只是极值点的必要条件，但不是充分条件。因此，在确定极值点时，还需要进一步的推导分析。比如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 时导数为 0，但并无极值。
按：这个证明来源于维基百科·费马引理
假设 $x_0$ 是一个局部极大值（局部极小值类似），在 $x_0$ 的去心邻域里有 $f(x_0) \geq f(x)$.
如果 $x \gt x_0$，则有
\[f'_{+}(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0} \leq 0\]类似地，如果 $x \lt x_0$，则有
\[f'_{-}(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0} \geq 0\]又因为 $f$ 在 $x_0$ 是可导的，所以
\[f'_{+}(x_0) = f'_{-}(x_0) = f'(x_0)\]所以
\[f'(x_0) = f'_{+}(x_0) \leq 0 \quad \text{且} \quad f'(x_0) = f'_{-}(x_0) \geq 0\]所以
\[f'(x_0) = 0\]