Cao Yi

无理数和有理数谁更多 Which is more abundant: Irrational numbers or Rational numbers?

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1. 相关定义

这里自然数集合定义为正整数集合 {1, 2, 3, 4, …}.

集合中元素的个数，称为集合的基数或势。如果两个集合的元素是一一对应的，则认为它们的势相等。自然数集合的势叫做${\mathrm{\aleph }}_0$。凡是势为${\mathrm{\aleph }}_0$的集合，为可数集合(countable set)，又称可列集或可数无穷集合。

可数集合指可与自然数集合建立一一对应关系的无穷集合。

2. 前导，两个例子

非负偶数集合{0, 2, 4, 6, 8, …}可以通过函数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}$映射到{0, 1, 2, 3, 4, …}，再通过函数$f(x)=x+1$映射到{1, 2, 3, 4, 5, …}，这里的映射都是一一对应，所以它们的势相等，都是${\mathrm{\aleph }}_0$. 通俗地讲，所有非负偶数的个数和所有自然数的个数是相等的。

前面这个例子，能明确地找到映射函数，但有的可数集合无法找到明确的映射函数，只能通过语言描述。如，偶数集 {…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …} 不存在一个直接到自然数集的映射函数。但我们可以这样理解：

1. 先变形，将偶数集表示为：{0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …}
2. 从第一个元素开始数，无论上面集合中的哪个元素，都有一个确定的自然数与之对应，同样，任意一个自然数，在上面的集合中，有且仅有一个确定的元素与之对应。

两者的势一一对应关系，所以偶数集和自然数即的势相等，都是${\mathrm{\aleph }}_0$. 通俗地讲，所有偶数的个数和所有自然数的个数是相等的。

{0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …} 中的元素也可以这么去数，任意选中一个这个集合中的一个数，它之前的数是有限的，因此很自然地可以用自然数编号，这样，所有的元素都能用一个自然数标记。

3. 有理数的个数

有理数就是两个整数的比例数，可以表示为

$${\displaystyle \frac{p}{q}},p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{Z}$$

这里为了方便，不妨设 $p>0$, 则可以通过$p+|q|$的值来构造有理数序列。

1. 当$p+|q|=1$时，$p=0$，这时能构造出的有理数是0
2. 当$p+|q|=2$时，这时能构造出的有理数是${\displaystyle \frac{0}{2}},{\displaystyle \frac{1}{1}},{\displaystyle \frac{-1}{1}}$
3. 当$p+|q|=3$时，这时能构造出的有理数是${\displaystyle \frac{0}{3}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{-1}{2}},{\displaystyle \frac{2}{1}},{\displaystyle \frac{-2}{1}}$

… …

1. 当$p+|q|=n$时，这时能构造出的有理数是${\displaystyle \frac{0}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n-1}},{\displaystyle \frac{-1}{n-1}},\dots ,{\displaystyle \frac{n-1}{1}},{\displaystyle \frac{-(n-1)}{1}}$

任何一个有理数，都可以在上面的序列中找到，如果从第一个开始编号，每个有理数都将有唯一的编号。如此，有理数的势也是${\mathrm{\aleph }}_0$.

4. 无理数的个数

假设无理数是可数的，可以构造一个可数数列，但我们还能构造一个数和这个数列中的每个数都不相等(参无理数和有理数哪个多？)。这个矛盾说明无理数不可数，并且比${\mathrm{\aleph }}_0$大，我们一般把无理数的势记为${\mathrm{\aleph }}_1$，很显然

$${\mathrm{\aleph }}_1>{\mathrm{\aleph }}_0$$

据说康托尔算出 ${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$，这个我目前还解释不了。

5. ChatGPT错了

如果轻信ChatGPT，可能会走入错误的深渊。

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