Cao Yi

Law of Cosines 余弦定理

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已知： $△ A B C$ 中, $∠ A$ , $∠ B$ , $∠ C$ 对应的三条边分别是a, b, c

求证：

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos ∠ A$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos ∠ B$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos ∠ C$

分析：

设有一三角形如图所示

$A D ⊥ B C$ ，AD是BC上的高, 记为h.

由勾股定理可得：

$b^{2} = a_{1}^{2} + h^{2}, c^{2} = a_{2}^{2} + h^{2}$

$∴ b^{2} + c^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 h^{2}$

$∵ a^{2} = (a_{1} + a_{2})^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2}$

$∴ b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 (h^{2} - a_{1} a_{2})$ 式(1)

欲证 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos ∠ A$

即证 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c \cos ∠ A$ 式(2)

如果式(1)式(2)两式右边相等即得证

即证 $b c \cos ∠ A = h^{2} - a_{1} a_{2}$

即证 $\cos ∠ A = \frac{h^{2} - a_{1} a_{2}}{b c}$ 式(3)

下面尝试计算 $\cos ∠ A$

$\cos ∠ A = c o s (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β = \frac{h}{b} \cdot \frac{h}{c} - \frac{a_{1}}{b} \cdot \frac{a_{2}}{c} = \frac{h^{2} - a_{1} a_{2}}{b c}$

式(3)得证，所以 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos ∠ A$ 成立，同理可证另外两式。

以上分析过程本身也可以作为证明过程，但也可以整理为更简单的证明形式，如下：

证明：

$∵ \cos ∠ A = \dots = \frac{h^{2} - a_{1} a_{2}}{b c}$

$∴ b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos ∠ A = b^{2} + c^{2} - 2 (h^{2} - a_{1} a_{2}) = (a_{1}^{2} + h^{2}) + (a_{2}^{2} + h^{2}) - 2 (h^{2} - a_{1} a_{2}) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} = (a_{1} + a_{2})^{2} = a^{2}$

当 $∠ A \geq \frac{π}{2}$ 可以用上面的证明，而当 $∠ A$ 为锐角时，即 $∠ A < \frac{π}{2}$ 时，则需要下面的证明过程：

由图可知： $a = a_{1} - a_{2}$ , $∠ A = α - β$

$∴ b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos ∠ A = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (α - β) = b^{2} + c^{2} - 2 b c (\cos α \cos β + \sin α \sin β) = b^{2} + c^{2} - 2 b c (\frac{h}{b} \cdot \frac{h}{c} + \frac{a_{1}}{b} \cdot \frac{a_{2}}{c}) = (a_{1}^{2} + h^{2}) + (a_{2}^{2} + h^{2}) - 2 b c \cdot \frac{h^{2} + a_{1} a_{2}}{b c}$

$= \dots = (a_{1} - a_{2})^{2} = a^{2}$

综上， $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos ∠ A$ 得证，另外两种情况类似可证。

后记，我的证明过程，用到了三角函数，而且分了两种情况，显得太简洁，对知识量要求也比较高，刚上初中的娃娃应该不太容易看懂。这个网站也有一个证明，它只证了相当于我这里的第一种情况，证明过程中也用到三角函数，但要简单一些。

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