Cao Yi
Law of Cosines 余弦定理
已知：$\triangle{ABC}$中, $\angle{A}$, $\angle{B}$, $\angle{C}$对应的三条边分别是a, b, c
求证：
- $a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\angle A}$
- $b^2 = a^2 + c^2 -2ac\cos{\angle B}$
- $c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\angle C}$
分析：
设有一三角形如图所示
$AD \perp BC$，AD是BC上的高, 记为h.
由勾股定理可得：
$b^2=a_1^2+h^2, c^2=a_2^2+h^2$
$\therefore b^2+c^2=a_1^2+a_2^2+2h^2$
$\because a^2 = (a_1 + a_2)^2 = a_1^2+a_2^2+2a_1a_2$
$\therefore b^2+c^2-a^2=2(h^2-a_1a_2)$ 式(1)
欲证 $a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\angle A}$
即证 $b^2+c^2-a^2=2bc\cos{\angle A}$ 式(2)
如果式(1)式(2)两式右边相等即得证
即证 $bc\cos{\angle A}=h^2-a_1a_2$
即证 $\cos{\angle A}=\dfrac{h^2-a_1a_2}{bc}$ 式(3)
下面尝试计算 $\cos{\angle A}$
$\cos{\angle A}=cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta
=\dfrac{h}{b}\cdot\dfrac{h}{c} - \dfrac{a_1}{b}\cdot\dfrac{a_2}{c}
=\dfrac{h^2-a_1a_2}{bc}$
式(3)得证，所以 $a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\angle A}$ 成立，同理可证另外两式。
以上分析过程本身也可以作为证明过程，但也可以整理为更简单的证明形式，如下：
证明：
$\because \cos{\angle A}=…=\dfrac{h^2-a_1a_2}{bc}$
$\therefore b^2 + c^2 -2bc\cos{\angle A}
=b^2+c^2-2(h^2-a_1a_2)
=(a_1^2+h^2) + (a_2^2+h^2) - 2(h^2-a_1a_2)
=a_1^2+a_2^2+2a_1a_2
=(a_1+a_2)^2
=a^2$
当$\angle{A} \geq \dfrac{\pi}{2}$可以用上面的证明，而当$\angle{A}$为锐角时，即$\angle{A} \lt \dfrac{\pi}{2}$时，则需要下面的证明过程：
由图可知：$a=a_1-a_2$, $\angle{A}=\alpha - \beta$
$\therefore b^2 + c^2 -2bc\cos{\angle A}=b^2 + c^2 -2bc\cos{(\alpha - \beta)}
=b^2 + c^2 - 2bc(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)
=b^2 + c^2 - 2bc(\dfrac{h}{b}\cdot\dfrac{h}{c} + \dfrac{a_1}{b}\cdot\dfrac{a_2}{c})
=(a_1^2+h^2) + (a_2^2 + h^2) - 2bc\cdot\dfrac{h^2+a_1a_2}{bc}$
$=…
=(a_1-a_2)^2
=a^2$
综上，$a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\angle A}$得证，另外两种情况类似可证。
后记，我的证明过程，用到了三角函数，而且分了两种情况，显得太简洁，对知识量要求也比较高，刚上初中的娃娃应该不太容易看懂。这个网站也有一个证明，它只证了相当于我这里的第一种情况，证明过程中也用到三角函数，但要简单一些。