Cao Yi

Law of Cosines 余弦定理

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已知ABC中, A, B, C对应的三条边分别是a, b, c

求证

分析

设有一三角形如图所示

ADBC,AD是BC上的高, 记为h.

由勾股定理可得:

b2=a12+h2,c2=a22+h2

b2+c2=a12+a22+2h2

a2=(a1+a2)2=a12+a22+2a1a2

b2+c2a2=2(h2a1a2) 式(1)

欲证 a2=b2+c22bccosA

即证 b2+c2a2=2bccosA 式(2)

如果式(1)式(2)两式右边相等即得证

即证 bccosA=h2a1a2

即证 cosA=h2a1a2bc 式(3)

下面尝试计算 cosA

cosA=cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=hbhca1ba2c=h2a1a2bc

式(3)得证,所以 a2=b2+c22bccosA 成立,同理可证另外两式。

以上分析过程本身也可以作为证明过程,但也可以整理为更简单的证明形式,如下:

证明

cosA==h2a1a2bc

b2+c22bccosA=b2+c22(h2a1a2)=(a12+h2)+(a22+h2)2(h2a1a2)=a12+a22+2a1a2=(a1+a2)2=a2

Aπ2可以用上面的证明,而当A为锐角时,即A<π2时,则需要下面的证明过程:

由图可知:a=a1a2, A=αβ

b2+c22bccosA=b2+c22bccos(αβ)=b2+c22bc(cosαcosβ+sinαsinβ)=b2+c22bc(hbhc+a1ba2c)=(a12+h2)+(a22+h2)2bch2+a1a2bc

==(a1a2)2=a2

综上,a2=b2+c22bccosA得证,另外两种情况类似可证。


后记,我的证明过程,用到了三角函数,而且分了两种情况,显得太简洁,对知识量要求也比较高,刚上初中的娃娃应该不太容易看懂。这个网站也有一个证明,它只证了相当于我这里的第一种情况,证明过程中也用到三角函数,但要简单一些。