2026.08.07
从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，按照一定顺序排列，得到的每一种结果都叫做一个排列。不同排列的总数即排列数。
比如从5个不同颜色的小球中取两个，它的排列数是 $5 \times 4$，因为第一个位置的球有5种取法，而第二个位置的球只剩下4个取法，总共就是$5 \times 4$种取法。
扩展一下，假如从 $n$ 个不同颜色的球中挑 $m$ 个，
它的排列数就是
\[\begin{aligned} &n(n-1)\cdots(n-m+1)\\ =&\frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)(n-m)\cdots1} {(n-m)\cdots1}\\ =&\frac{n!}{(n-m)!} \end{aligned}\]这是排列的一个特例，即集合中所有元素都参与排列，它的排列数就是元素个数的阶乘:
\[n(n-1)(n-2) \dots 1 = n!\]英语中常用 Permutation 表示排列；在一些教材和地区，也会使用 Arrangement 一词。因此排列数的记号并不完全统一，常见的有 $P$ 或 $A$ 等。以下的符号都表示 $\dfrac{n!}{(n-m)!}$：
中国大陆用 $A_n^m$ 和 $P_n^m$ 比较多，为了表述简单无歧义，本站以后将使用下降阶乘 $n^{\underline{m}}$ 表示排列数。
组合就是从一个集合中挑几个元素，不考虑顺序，放在一起。不同组合的数量就是组合数。
从 $n$ 个元素中挑 $m$ 个元素，不考虑它们的顺序，得到的每一种结果都叫做一个组合。用 $\binom{n}{m}$ 表示组合的个数，其中每个组合都有 $m!$ 种不同的排列，所以 $n^{\underline{m}} = \binom{n}{m}m!$，即 $\boxed{\text{排列数}=\text{组合数}\times\text{每个组合的排列数}}$，所以组合数 $\binom{n}{m} = \dfrac{n^{\underline{m}}}{m!}$。这里就得到组合数公式：
\[\binom{n}{m} = \dfrac{n^{\underline{m}}}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\]“组合”的术语是 Combination，所以好几种组合的符号都用 $C$.
中国大陆用 $C_n^m$ 比较普遍，不过为了查阅资料和交流方便，本站以后将使用更流行的 $\binom{n}{m}$。
将 $n$ 个元素分两段，前半段的元素个数是: $m$，后半段元素个数是 $n-m$
现在将 $n$ 个元素做全排列，
综上可以得到这 $n$ 个元素的全排列是：$\binom{n}{m}m!(n-m)!$
从之前的定义已知 $n$ 个元素的全排列数是 $n!$
所以，
\[n! = \binom{n}{m}m!(n-m)!\]所以这里也能推出组合数公式：
\[\binom{n}{m}= \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\]再观察上面的第一步和第二步，我们可以得到排列数
\[n^{\underline{m}} = \binom{n}{m}m! = \dfrac{n!}{m!(n-m)!} \cdot m! = \dfrac{n!}{(n-m)!}\]再观察上面的第一步和第三步，我们可以得到排列数
\[n^{\underline{n-m}} = \binom{n}{n-m}(n-m)! = \dfrac{n!}{m!(n-m)!} \cdot (n-m)! = \dfrac{n!}{m!}\]我们还可以重新设计步骤，先排列后半段：
综上可以得到这 $n$ 个元素的全排列是：$\binom{n}{n-m}(n-m)!m!$
已知 $n$ 个元素的全排列数是 $n!$
所以,
\[n! = \binom{n}{n-m}(n-m)!m!\]再联系前面的等式 $n! = \binom{n}{m}m!(n-m)!$
所以，
\[\binom{n}{n-m}(n-m)!m! = \binom{n}{m}m!(n-m)!\]化简可得：
\[\binom{n}{n-m} = \binom{n}{m}\]这个代数方式顺理成章，但还有一个更直接的理解方式，即，从 $n$ 个元素中挑 $m$ 个，每挑出的一个组合，就对应剩下的一个组合，两者是一一对应的关系，数量上自然也相等，所以，很自然就能得到 $\binom{n}{n-m} = \binom{n}{m}$。
组合不考虑顺序，所以挑出的 $m$ 个和每挑出的 $n−m$ 个之间存在一一对应；排列考虑顺序，所以两者一般不是同一个数量。
参考：