Cao Yi

三角公式 Trigonometric Formulas

返回目录

1. 图像

基本三角函数在直角坐标和极坐标下的图像。

  1. 正弦 sine

sine

  1. 余弦 cosine

cosine

  1. 正切 tangent

tangent

  1. 余切 cotangent

cotangent

  1. 正割 sec

正割 sec

  1. 余割 csc

余割 csc

2. 常见的特殊角的三角函数值

  0 16π 14π 13π 12π 1π 32π
sin 0 12 22 32 1 0 1
cos 1 32 22 12 0 1 0
tan 0 33 1 3 undefined 0 undefined
cot undefined 3 1 33 0 undefined 0
sec 1 233 2 2 undefined 1 undefined
csc undefined 2 2 233 1 undefined 1

3. 诱导公式 Induction Formula

3.1 对称

反射于θ=0(负角) 反射于θ=π4(余角) 反射于θ=π2(补角) 反射于θ=3π4
sin(0θ)=sinθ sin(π2θ)=cosθ sin(πθ)=sinθ sin(3π2θ)=cosθ
cos(0θ)=cosθ cos(π2θ)=sinθ cos(πθ)=cosθ cos(3π2θ)=sinθ
tan(0θ)=tanθ tan(π2θ)=cotθ tan(πθ)=tanθ tan(3π2θ)=cotθ
cot(0θ)=cotθ cot(π2θ)=tanθ cot(πθ)=cotθ cot(3π2θ)=tanθ
sec(0θ)=secθ sec(π2θ)=cscθ sec(πθ)=secθ sec(3π2θ)=cscθ
csc(0θ)=cscθ csc(π2θ)=secθ csc(πθ)=cscθ csc(3π2θ)=secθ

3.2 位移和周期

位移π2(增加π/2相位) 位移π(对角) 位移3π2 位移2π (终边相同的角)
sin(θ+π2)=cosθ sin(θ+π)=sinθ sin(θ+3π2)=cosθ sin(θ+2π)=sinθ
cos(θ+π2)=sinθ cos(θ+π)=cosθ cos(θ+3π2)=sinθ cos(θ+2π)=cosθ
tan(θ+π2)=cotθ tan(θ+π)=tanθ tan(θ+3π2)=cotθ tan(θ+2π)=tanθ
cot(θ+π2)=tanθ cot(θ+π)=cotθ cot(θ+3π2)=tanθ cot(θ+2π)=cotθ
sec(θ+π2)=cscθ sec(θ+π)=secθ sec(θ+3π2)=cscθ sec(θ+2π)=secθ
csc(θ+π2)=secθ csc(θ+π)=cscθ csc(θ+3π2)={θ} csc(θ+2π)=cscθ

这些公式有一句著名的口诀:奇变偶不变,符号看象限。“奇变偶不变”指的是,如果括号内增加π/2的奇数倍,改变函数名(如sin变成cos),偶数倍则不变;而“符号看象限”指的是,只需要假设θ是第一象限的角(这样θ的三角函数必定为正),而观察公式变换后θ+nπ2在对应象限的三角函数的符号,例如sin(θ+π),θ转动π rad后到达第三象限,而第三象限的正弦是负数,所以sin前加负号,sin(θ+π)=sinθRef

4. 六边形

三角函数的关系

倒数关系

平方和关系

相邻三个值的关系(当前值等于往右第一个值除以往右第二个值,当前值等于相邻两个值的积)

5. 和差恒等式

正弦和余弦函数的和差

正切函数的和差

这里的两个图形证明非常不错,想当年我的老师可能也是不晓得的。时间飞快,这一晚,就是二十多年。

二倍角公式

三倍角公式

半角公式(降幂公式)

6. 积化和差 product-to-sum

通常,我们提到的积化和差公式只涉及sincos相关的四个公式,它们都是从前面提到的和差恒等式推出的。

7. 和差化积 sum-to-product

通常,这里也只是记录4个涉及sincos的公式,它们都可以通过上面积化和差的几个公式直接加减推出。

这几个公式,也可以通过把α看成α+β2+αβ2,把β看成α+β2αβ2,然后通过前面提到的和差恒等式直接相加得出。

8. 万能公式

tanα2 表示 sinα, cosα, tanα

Ref: