2024.02.14 农历正月初五
矩阵的行秩等于列秩，是线性代数中的非常非常基础和重要的结论，这个秩也就是矩阵的秩。
假设 $\mathcal{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，再假设它的行秩是 $r$.
根据前面的假设，假设 $\mathcal{A}$ 的行向量组一个最大无关组（基）是
\[\mathcal{C} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{r} \end{bmatrix}\]其中，$c_{1}, c_{2}, …, c_{k}$ 是 $n$ 维行向量，$C$ 是一个 $r \times n$ 矩阵。
$\mathcal{A}$ 的所有行向量都可以用 $C$ 线性表出，存在存在一个 $m \times r$ 矩阵 $R$，使
\[\mathcal{A}_{m \times n} = \mathcal{R}_{m \times r}\mathcal{C}_{r \times n}\]根据矩阵的乘法，$\mathcal{A}$ 除了可以看着是 $\mathcal{C}$ 的行向量的线性组合，还可以看作是 $\mathcal{R}$ 的列向量的线性组合。
既然 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{R}$ 的列向量的线性组合，那么
\[\mathcal{A} 的列秩 \le \mathcal{R} 的列秩\]又因为 $\mathcal{R}$ 的列数是 $r$，所以
\[\mathcal{R} 的列秩 \le r\]所以
\[\mathcal{A} 的列秩 \le \mathcal{R} 的列秩 \le r = \mathcal{A} 的行秩\]即得到
\[\begin{equation} \begin{split} \mathcal{A} 的列秩 \le \mathcal{A} 的行秩 \end{split} \end{equation}\]同理可以证明
\[\mathcal{A}^T 的列秩 \le \mathcal{A}^T 的行秩\]又因为
\[\mathcal{A}^T 的列秩 = \mathcal{A} 的行秩， \mathcal{A}^T 的行秩 = \mathcal{A} 的列秩\]所以
\[\begin{equation} \begin{split} \mathcal{A} 的行秩 \le \mathcal{A} 的列秩 \end{split} \end{equation}\]由(1), (2)两式可得
\[\mathcal{A} 的行秩 = \mathcal{A} 的列秩\]证毕。
这次重学线性代数时，我当然晓得这个结论，但对证明过程却很陌生。所以花了时间反复阅读证明，终于搞清楚了，但往往第二天起来又忘了，这个情况已经反复几次了。是可忍熟不可忍，还是用自己的话记下来吧。
马同学也提供了一种证明，参这里，它是从列向量出发。我这里有意使用行向量来证，其实结果都是一样的——都证妥了。
要证明这个结论，必须把矩阵相乘理解透，尤其是如何从行或列运算的角度去理解。